炮灰模型---------- 對女生選擇追求者的數學模型的建立

Geng Quan, Department of Electronic Engineering, Tsinghua University

引言：

上周我的一個朋友第N 次向女生表白遭到拒絕，作為好朋友的我除了同情之外覺得應該做點什么。之前一次聊天受到菠菜的啟發，加上出于對數學的興趣，我對女生“選擇與拒絕”的策略試著做了一個簡單的建模，并得出比較有意義的結論。

摘要：

         每一個女生都渴望找到自己心中的白馬王子，找到自己一生的幸福。但是面對追求者們，女生應該是選擇還是拒絕，怎樣才能以最大的可能找到自己的Mr. Right 呢？在這篇文章中我們運用數學中概率論的知識對女生選擇追求者的這一過程進行數學建模，得到女生的選擇的最優策略，最后對結果進行簡單的討論。

關鍵詞：

    炮灰模型 排列 選擇

模型假設：

眾所周知生活中涉及到感情的事情是很復雜的，把所有可能影響的因素都考慮到幾乎是不可能的。為此我們先對現實進行簡化，并做出一些合理的假設，考慮比較簡單的一種情況。

假設一個女生愿意在一段時間中和一位男生開始一段感情，并且在這段時間中有N 個男生追求這位女生。說明：這里的N 不是事先確定的，每個女生根據自身條件，并結合以往的經歷和經驗，猜測確定這個數字N 。比如其它各方面都相同的兩個女生，一般來說，PP 的女生就要比不PP 的女生N 值相對要大一些。在適合這個女生的意義上，假設追求者中任何兩個男生都是可以比較的，而且沒有相等的情況。這樣我們對這N 個男生從1 到N 進行編號，其中數字越大表示越適合這個女生。這樣在這段時間中，女生的Mr. Right 就是男生N 了�，F在問題變成面對這N 個追求者應該以怎樣的策略才能使得在第一次選擇接受的男生就是N 的可能性最大，注意到這N 個男生是以不同的先后順序來追求這位女生的。

為了將實際復雜的問題進行簡化，我們做出下面幾條合理的假設：

1、  N 個男生以不同的先后順序向女生表白，即在任一時刻不存在兩個或兩個以上的男

生向這位女生表白的情況的發生，而且任何一種順序都是完全等概率的。

2、  面對表白后的男生，女生只能做出接受和拒絕兩種選擇，不存在曖昧或者其它選擇。

3、  任一時刻，女生最多只能和一位男生談戀愛，不存在腳踏多船的情況。

4、  已經被拒絕的男生不會再次追求這位女生。

基于上述假設，我們想要找到這樣一種策略，使得女生以最大的概率在第一次選擇接受

的那個男生就是N ，i.e. Mr. Right 。

先考慮最簡單的一種策略，如果一旦有男生向女生表白，女生就選擇接受。這種策略下顯然女生以1/N 的概率找到自己的Mr. Right 。當N 比較大的時候，這個概率就很小了，顯然這種策略不是最優的。

基于上面這些假設和模型，我們提出這樣一種策略：對于最先表白的M 個人，無論女生感覺如何都選擇拒絕；以后遇到男生向女生表白的情況，只要這個男生的編號比前面M 個男生的編號都大，即這個男生比前面M 個男生更適合女生，那么女生選擇接受，否則選擇拒絕。

下面以N=3 為例說明：

三個男生追求女生，共有六種排列方式：

1 2 3

1 3 2

2 1 3

2 3 1

3 1 2

3 2 1

如果女生采用上述最簡單的策略，那么只有最后兩種排列方式選擇到Mr. Right ，概率為2/3!=1/3 。

如果女生采用上面我們提出的策略，這里我們取M=1 ，即無論第一個人是否優秀，女生都選擇拒絕。然后對于之后的追求者，只要他比第一個男生更適合女生就選擇接受，否則拒絕。 基于這種策略，“1 3 2 ”、“2 1 3 ”、“ 2 3 1 ”這三種排列順序下女生都會在第一次做出接受的選擇時遇到“3 ”，這樣我們就把這種概率增大到3/3!=1/2 。

現在我們的問題就歸結為，對于一般的N ，什么樣的M 才會使這種概率達到最大值呢？（在這種模型中，前面M 個男生就被稱為“炮灰”，無論他們有多么優秀都要被拒絕）

模型建立：

在這一部分中，根據上面的模型假設，我們先找到對于給定的M 和N(1<M<N) ，女生選擇到Mr. Right 的概率的表達式。

1 到N 個數字進行排列共有N! 種 可能。當數字N 出現在第P 位置（M<P<=N ），如果使上述策略在第一次選擇接受時遇到的是N ，排列需要滿足下面兩個條件：

1、    N 在第P 位置

2、    從M+1 到P-1 位置的數字要比前M 位置的最大數字要小

運用數學中排列組合的知識，不難知道符合上面兩個條件的排列共有

這樣對于給定的M 和N ，P 可以從M+1 到N 變化，求和化簡后得到給定M 和N 共有

種序列符合要求。

由此得到女生選擇接受時遇到Mr. Right 的概率為

  。

模型求解：（不感興趣的話可以直接跳過這部分推導）

     這一部分中我們求解使這個表達式取得最大值時M 的值。

記函數 ， 且設自變量取值為M 時，函數取得最大值。

因此：

所以M 應滿足

我們知道，當x>0, In(1+x)< x  ;

          當x-->0, In(1+x) ~ x  。

所以由左不等式

所以：

當N 比較大時，同理由右不等式可得M ≈N/e ，  以上e 為自然對數。

若記[x] 為不大于x 的最大整數，由以上推導我們可猜測當M 取[N/e] 或[N/e]+1 時，該表達式取得最大值。

用MATLAB 仿真，上述結論正確。

結果分析：

由上述分析可以得到如下結論：為了使一個女生以最大的概率在第一次選擇接受男生時遇到的正是Mr. Right ，女生應該采用以下的策略：

拒絕前M=[N/e] 或者[N/e]+1 個追求者，當其后的追求者比前M 個追求者更適合則接受，否則拒絕。

“打戰的時候，很多士兵身先士卒，跑到前線勇往直前。通常來說，走在最前面的，都會給大炮打中（古代的大炮像象個球一樣滾過來的）成為灰燼。而后來的士兵，就踏著炮灰走到勝利，所以成為別人利益的犧牲品的人就叫炮灰.�！�-------- 百度上關于炮灰的解釋

在本篇文章中介紹的“炮灰模型”中，前M個男生就成了炮灰的角色，無論其有多么優秀，都會被拒絕。

朋友，如果你追求一個女生而遭到拒絕，看完這篇文章后你會突然發現，也許這不是你的的錯，也許你真的很優秀，只是很不幸，你成了“炮灰”。

這幾天在校內上看到很多朋友都因為拒絕或失戀而苦惱。希望上面這些看似復雜的推導和模型對你能有所啟發。不要因為一次的拒絕而傷心、失落，振作起來，你的Miss Right is waiting for you somewhere!

謹以此篇文章獻給所有為愛而戰的猛士們！

再由作者的理論小推論一下：
設女性最為燦爛的青春為18-28歲，在這段時間中將會遇到一生中幾乎全部的追求者（之前之后的忽略不計），且追求者均勻分布（ ），則女性從18+10/e=21.7即22歲左右開始接受追求……這告訴我們，想談戀愛找大四的……