九年前，當我還坐在學校的物理數學課的課堂里時，我的老師為我們講授了一種新方法，給我留下了深刻映像。
我認為，毫不夸張地說，這是對數學理論發現最廣泛的應用。應用的領域包括：量子物理、射電天文學、MP3和JPEG壓縮、X-射線晶體學、語音識別、PET或MRI掃描。這種數學方法叫做傅里葉變換，這種方法因18世紀的法國物理學家、數學家約瑟夫·傅立葉（Joseph Fourier）而得名。這種方法甚至被詹姆斯·沃森和弗朗西斯·克里克用來解碼由羅莎琳德·富蘭克林通過X射線得到的DNA雙螺旋結構。（克里克是傅里葉變換的專家，他寫過一篇名為《傅里葉變換在觀鳥者中的應用》的趣文，來向名為沃森的觀鳥愛好者解釋這一數學概念。）
無論你在聽MP3格式的歌曲，還是在網頁上瀏覽圖片，或者向SIRI提問，甚至打開收音機時，你都可能在日常生活中應用了演化的傅里葉變換。（順便說一下，傅里葉并不是一個敷衍取巧的人。在他研究的理論物理和數學之外，他還是第一個發現溫室效應的人）。
那么，什么是傅里葉理論呢，為什么他的這個理論如此有用？想想你在鋼琴鍵盤上敲響一個音符。當你按下琴鍵的時候，鋼琴中有一個小錘來來回回地敲擊一根琴弦（對于音準do大約是440次每秒）。隨著琴弦振動，它周圍的空氣分子也來回震動，從而創造了一波震動的空氣分子，我們稱之為聲。如果你能看空氣中進行的這種有規律的舞蹈，你會發現一系列平穩，起伏的，無休止的重復。這就是所謂的正弦波曲線，或正弦波。（特別說明：在鋼琴的例子中，肯能會產生不止一條正弦波實際演奏中，鋼琴音色的豐富性正是來源于在主要正弦波之外的那些輕柔的泛音。鋼琴的音符可以大致模仿一條正弦波，但是對于單一的正弦波聲音來說，音叉發出的聲音是一個更加貼切的例子。）
現在，讓我們暫時放下單獨一個音符，而考慮由三個按鍵同時發出的和弦聲。和弦結果的聲波并不漂亮——它看起來雜亂無章。但是，在這混亂的背后有一個簡單的模型。畢竟，和弦只是三個音符的相互融合與碰撞，因此這樣混亂的聲波，實際上只是三種音符（正弦曲線）的和而已。 
傅里葉認為這不僅僅音樂和弦的特殊屬性，而可以推廣應用到一切重復的波形中，無論這個波形是方形，圓形，波浪，三角形伙食其他。傅里葉變換像是一種數學棱鏡——你輸入一個波形并且將這種波形分解為不同成分——這些音符（正弦曲線）會相互疊加而形成新的重建波形。
如果這聽起來有一些抽象的話，有一些可視化的方式來使得傅里葉的方法更加直觀。第一種方法是有盧卡斯（Lucas V. Barbosa）提出的。他是一名來自巴西的物理學學生，他將業余時間無償用于為維基百科制作關于數學和科學的動畫，在維基百科上他被稱為“LucasVB”。
那么，現在讓我們來看看輸入一個方形波，經過傅里葉變換后，會輸出怎樣的波形。
在這些圖形中（點擊這里可查看 GIF 動態圖），紅色的方形波被分離為單純波形的集合（藍色的正弦曲線）。將這些藍色波形認為是紅色波形的數學成分列表。在這個比喻中，傅里葉變換就像是一種藥方——他準確地告訴你要重建原始波形，每一種簡單波形你要使用多少。動畫中的垂直藍色線，是每種波形數量的直觀表示。
思考這個問題，還有一種由馬修·亨德森（ Matthew Henderson or Matthen）提供的方法。他是劍橋大學的博士生，并且對于創建數學動畫模型非常有興趣。他用圓形而不是正弦曲線來解釋傅里葉變換。這種方法包含了一組不同大小的源，每個圓的圓心都在一個更大的圓的邊緣上。然后，這些圓開始轉動，大圓在小圓的周圍擺動，小圓的運動速度大于大圓。如果你追蹤最小圓上一個點的運動軌跡，如下面的動畫和截圖所示，你可以重建任意形狀的波形。傅里葉變換再一次告訴你波形是怎樣產生的：以怎樣的速度去移動哪些圓。
如果你年紀夠大以至于你用過呼吸量描記儀，那么通過層疊的齒輪來描述復雜模型的想法你可能很熟悉。LucasVB在同一個動畫上制作了互動的版本，使得你可以隨意改變圓圈的大小。
總的來說，傅里葉變換告訴你，在一個整體的波形中，每一個單獨的“音符”（正弦曲線或是圓圈）的比例。這就是傅里葉變換如此有用的原因。想象一下，你正在和你的朋友通電話，同時你想讓他們能夠畫出近似方形的波形。復雜的方式是讀出一長串的數字，每個數字表示了相應時間點上波形的高度。有了這些數字，你的朋友可以耐心地繪制出原始波形。這就是原始的音頻格式比如WAV的基本原理。但是，如果你的朋友知道傅里葉變換，那么你可以更加聰明地完成這個工作：你只要告訴他們少量數字——上圖中提到的不同的圓的尺寸。他們可以用這些圓來重建原始波形。
這不僅僅是數學花招。傅里葉變換出現在幾乎所有存在波形的地方。無處不在的MP3格式使用一種變形的傅里葉變換來達到相比之前的WAV（讀作“wave”）更大的壓縮率。對于每個音頻片段，傅里葉變換將音頻波形分解為它的成分音符并且保存下來，從而代替存儲原始波形。傅里葉變換還可以告訴你在一首歌中每個音符所占的比例，你可以知道哪些音符是這首歌的基本元素。音調很高的音符并不重要（我們的耳朵幾乎不能聽見），因此，MP3格式放棄保存這些音符，從而取得了更高的數據壓縮率。這正是高保真音響愛好者不喜歡MP3格式的原因——它不是一種無損的音頻格式，高保真愛好者表示他們可以聽出其中的差別。
這也是智能手機的應用程序Shazam怎樣識別一首歌的原理。它將音樂分割成塊，利用傅里葉變換算出每一塊中的音符成分。然后它搜索數據庫，來尋找這樣的“音符指紋”與他們已有文件中的一首歌相匹配。語音識別同樣使用“傅里葉——指紋”的思想，將你的聲音與已知單詞列表進行比較。
你也可以在圖像上利用傅里葉變換。有一個極好的視頻來說明你怎么利用圓圈來繪制辛普森的臉。在線百科全書Wolfram Alpha采用了相似的理念來繪制名人頭像。聽起來，這似乎可以存下來用于一個惡搞的雞尾酒會，但是，這種方法也用于將圖像壓縮為JPEG文件。在以前的微軟繪圖中，圖像是用位圖（BMP）存放的，這種文件包含了一長串的數字，代表對每個像素點的顏色編碼。JPEG格式就相當于圖像格式中的MP3格式。建立一個JPEG文件，你首先將圖片分割為很小的塊，每塊都是8像素*8像素。對于每個像素塊，你可以用與重建辛普森的臉相同的畫圓的辦法來重建局部圖像。正如MP3放棄保存高音一樣，JPEG不保存極小的圓。這樣做的結果是：犧牲了小部分的畫面質量，來取得文件大小的巨大壓縮。這樣的理念，使得我們都喜歡的可視化網絡世界成為可能（同時最終讓我們得到了GIF格式）。
在科學研究中，傅里葉變換又有怎樣的應用呢？我在推特上邀請科學家們來描述他們在工作中是怎樣應用傅里葉的思想的。他們的回復使我驚訝。做出回復的科學家表示，他們正在利用傅里葉變換：研究不同的潛水器結構與水流的相互作用，試圖預測即將到來的地震，識別距離遙遠的星系的組成部分，尋找熱量大爆炸殘余物中的新物理成分，從x射線衍射模式揭示蛋白質的結構，為NASA分析數字信號，研究樂器的聲學原理，改進水循環的模型，尋找脈沖星（自轉的中子星），用核磁共振研究分子結構。傅里葉變換已經被用于通過破譯油畫中的化學物質，來識別假冒的杰克遜·波洛克繪畫。
哇！這僅僅是一個相當傳統的小數學技巧！
| 
QQ好友和群
QQ空間
騰訊微博
騰訊朋友
收藏
淘帖
頂
踩
