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累積梳狀（CIC）濾波器分析與設計 1、累積梳狀（CIC）濾波器的分析 所謂累積梳狀濾波器，是指該濾波器的沖激響應具有如下形式：  （1） 式中 為梳狀濾波器的系數長度（后面將會看到這里的 也就是抽取因子）。根據Z變換的定義，濾波器的Z變換為：  （2） 式中，  （3）  （4） 其實現框圖如圖1所示： 可見，CIC濾波器是由兩部分組成：累積器 和梳狀濾波器 的級聯，這就是為什么稱之為累積梳狀濾波器的原因。下面分析一下梳狀濾波器的幅頻特性。 把 代入可得 的頻率響應為：  （5） 其幅頻特性為：  （6） 若設N＝7，就可以得到如圖2所示的相應的頻譜特性曲線： 由圖2可以清楚地看到： 的形狀猶如一把梳子，故把其形象地稱之為梳狀濾波器。同樣可以求得累積器 的頻率響應為：  （7） 故CIC濾波器的總頻率響應為：  （8） 式中， 為抽樣函數，且 ，所以CIC濾波器在 處的幅度值為 ，即：  （9） CIC濾波器的幅頻特性如圖3所示： 在 區間上稱 的區間為CIC濾波器的主瓣，而其它區間稱為旁瓣。由圖3可知，在 區間上隨著頻率的增大，旁瓣電平不斷減小，其中第一旁瓣電平為：  （10） 比如N＝7，則第一旁瓣與主瓣的電平差值為：16.9dB。不過，當 的時候，有 ，所以第一旁瓣電平 為：  （11） 因此，旁瓣與主瓣的差值 （用dB數表示）為：  （12） 可見，單級CIC濾波器的旁瓣電平是比較大的，只比主瓣低13.46dB，這也就意味著阻帶衰減差，一般很難直接滿足實用要求。為了減低旁瓣電平，自然會想到的方法是采用多級CIC濾波器級聯的辦法。設用Q級CIC級聯，那么總的頻率響應為：  （13） 同理可求得Q級CIC濾波器的旁瓣抑制為：  （14） 比如當 時，主瓣與旁瓣的差值為：67.3dB，這樣的阻帶衰減基本上能滿足實際要求。但在實際的抽樣率變換系統中，CIC濾波器旁瓣區域往往作為不確定 帶來處理，也就是說在這些旁瓣區域不會有信號頻譜（鏡像或混疊頻譜），因此在CIC濾波器設計中所要考慮的重要指標是抗混疊問題。這個問題放在具體的抽取率變換濾波器的分析中加以討論。 2、累積梳狀（CIC）抽樣率變換濾波器的分析 抽樣率變換濾波器包括抽取濾波器和內插濾波器。根據多采樣率數字信號處理理論，內插濾波器和抽取濾波器是對偶關系，也就是說抽取濾波器通過轉置可以得到內插濾波器，反之亦然。因此，這里主要針對抽取濾波器展開分析，其結果也同樣適用于內插濾波器。   根據多采樣率數字信號處理理論，抽取濾波器的結構框圖如下：  現若假設用N級CIC濾波器來代替 ，每一級的濾波器系數長度為R，每一級的差分延遲為M，抽取數為R，那么可以得到如圖5所示的CIC抽取濾波器結構圖：
據CIC濾波器的傳遞函數，圖5所示的抽取濾波器結構圖和圖6所示的抽取濾波器結構圖是等價的。  根據分支運算的換位和電路的恒等關系（具體見附錄1），可以得到如圖7所示的CIC抽取濾波器結構圖： 據圖6、圖7可以得到相對于高采樣率 的系統函數為：  （15） 從式（15）可以看到，N級CIC濾波器在功能上相當于N級完全相同的FIR濾波器的級聯。如果按傳統的FIR濾波器方式實現，那么N級FIR濾波器的每一級都需要RM個存儲單元和一個累加器，但如果用CIC方式實現，那么N級CIC濾波器的每一級只需要M個存儲單元。 CIC濾波器幅頻特性具有帶帶的低通特性，這可以從圖3中看出來，下面具體來分析CIC抽取濾波器的幅頻特性。設：  （16） 其中 是相對于低采樣率 的歸一化頻率，把（16）式代入（15）式得到CIC濾波器的幅頻特性為：  （17） 如果抽取率R足夠大，那么有 ，從而有：   （18）  從上式可以看到，CIC的增益可達（RM）N, 差分延遲M影響著零點分布，也就是說差分延遲M可以影響幅頻特性，一般M＝1或2。若設N＝5、M＝1及R＝4，那么可以得到如圖8所示的幅頻特性曲線：
對于CIC抽取濾波器來說，那些零點附近的區域將會被折疊到通帶而引起混疊誤差，具體而言這些混疊帶為：  （18） 其中 ，而 1，2，┅， ，這里 是指不大于x的最大整數。在實際設計時，混疊誤差是以所有混疊帶中的最大混疊誤差來衡量的。如設在圖8中的 為通帶截止頻率，那么最大的混疊誤差的位置為：  （19） 而在任意頻率點 （ ），相對于最大值的衰減（以dB表示）為：  （20） 對于通帶截止頻率點的衰減，不一定需要知道 和 ，其實只要知道 即可，但對于阻帶截止頻率點的衰減，如果只知道 的條件是不夠的，應該同時需要知道和的值。據上述分析，就可以得到如表1所示的不同通帶截止頻率點的衰減值和如表2所示的不同通帶截止頻率下的阻帶截止頻率點衰減值。 相對帶寬和差分延遲乘積（  ） | 在  處的通帶衰減（dB） 級數（N） | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |
3、CIC抽樣率變換濾波器的設計 上面已經提到過，根據多采樣率數字信號處理理論，內插濾波器和抽取濾波器是對偶關系。所以不管是內插濾波器還是抽取濾波器，只要設計了一種濾波器，那么另一種濾波器也相當于得到了設計。因此，這里只研究抽取濾波器的設計問題。 根據第2部分中對抽取濾波器的分析及自己的具體設計要求，我們可以確定所要選用的CIC濾波器類型。比如：我們要求把帶寬為30kHz、采樣率為6MHz的信號降低為采樣率為240kHz的信號，而要求通帶衰減最大不得超過3dB，阻帶衰減不得低于60dB。據此條件參考表1和2可知，用級數N＝4、差分延遲M＝1的CIC濾波器可以滿足要求。但對于CIC濾波器的設計來說，那是遠遠不夠的，這是因為CIC是數字濾波器，所以必須考慮在濾波過程中為了不產生溢出而需要的最大位數和每級可以舍去的位數。下面就來分析這兩個問題。 在圖7中從第j級開始到最后一級的總的系統函數為：   （21）其中，   （22）這組公式的獲得參見附錄2。 現把濾波器濾波過程中可能增加的最大值定義為最大幅度輸入信號情況下最大的輸出幅度。若假設信號輸入位數為Bin(滿刻度輸入)，即輸入信號為2Bin，那么根據：  （23） 故增加的值為：  （24） 由（15）式和（21）式得到：  （25） 因正系數的多項式乘積的展開式依然是正系數的多項式，因此有 ，這樣（24）式變為：  （26） 另外，由（25）式，令 得到：  （27） 故有：  （28） 從而在輸入信號位數為 的情況下，濾波輸出的最大可能位數為：  （29） 這里之所以需要減1，那是因為那個符號數相乘結果中會有兩位相同的符號位，所以需要去掉一位。另外， 是指不小于x的最小整數。  不僅是濾波器輸出的最大可能的位數，也是每一級濾波器的最大可能位數。但在許多實際情況中，太大會使寄存器位數過寬，這是很不經濟的。為了能解決這個問題，在每一級濾波器中引入四舍五入或截取的方法來減少位數。這自然需要研究一下因四舍五入或截取所引起的濾波器輸出端誤差，具體的方法就是通過單獨研究每一級誤差源（指每一級濾波器截取或四舍五入引起的誤差）的均值和方差，利用統計特性研究濾波器輸出端總的均值和方差。根據實際實現時的濾波器結構（下面介紹），可以認為誤差源有 個： 個濾波器級因四舍五入或截取所產生的誤差源和一個輸出寄存器因四舍五入或截取所產生的誤差源。 一般我們認為截取比四舍五入的效果要好，但在CIC濾波器中，除了第一級和第2N＋1級誤差源以外，其它級誤差源的輸出誤差統計結果不管是四舍五入還是截取都是相同的（見下面的分析）。如果在實際設計中，第一級采用全精度運算（也就是以 位進行運算，不截取也不舍入），那么對于設計者來講只需要在最后一級（輸出寄存器誤差源）考慮采用截取還是四舍五入。 一般認為每一級誤差源都是與輸入信號和其它誤差源不相關的白噪聲，并且服從均勻概率分布。對于第j級誤差源，我們可以得到誤差函數為：  （30） 這里 是第j級被拋掉的位數，因此可以得到第j級誤差源的均值 和方差 表達式：  （31）  （32）  據式（21），對于第k個系數，對應的誤差均值和方差為： 和 ，其隨機過程模型如下圖所示： 因此，第j級誤差源在輸出端所產生的總的均值 為：  （33） 其中，  （34） 同樣，第j級誤差源在輸出端所產生的總的方差 為：  （35） 其中，  （36） 另外，可以獲證（我還未證明之）：  （37） 從這里可以看出，對于選用截取還是舍入除了對第一級和最后一級有不同的影響外，對其它級都不會有影響。這樣可以得到因截取或舍入所引起的在輸出端所產生的總均值 和方差 為：  （38）  （39） 現在，我們可以根據上述分析結果，在給定合適的誤差限制條件下反過來確定每一級濾波器需要拋棄的位數。由于方差在所有的誤差源中都受截取或舍入的影響，而均值只有對第一和最后一級產生影響，所以這里選用方差作為唯一的設計參數。 如果現在假定在輸出寄存器中所保留的位數為 ，那么最后需要被拋棄的最低位數為：  （40） 這里只所以需要加1，那是因為被拋棄的數是符號數，所以除了拋棄的數據位，還需要指定拋棄數據的符號。 為了得到前2N級濾波器中的每一級所要拋棄的位數 ，現提出以下的設計準則：前2N個誤差源在輸出端所產生的方差小于或等于最后一級誤差源的方差，同時假定誤差等同地分布在這些源中。這樣就可以得到如下的不等式：  （41） 而由式（30）、（32）和（35），可以得到：  （42） 根據式（41）和（42）得到：  （43） 以2為底求對數得到：  （44） 也就是：   （45） 具體的計算步驟如下： - 根據已知的R、M和N的值及式（22）求
 ； - 據式（36）求
 ； - 據式（40）、（30）、（32）和（35）式求
 ； - 據（45）式求
 。
到此為止，我們已經講述了CIC濾波器的選取依據和每一級位數的設計過程，下面通過一設計實例來詳細介紹設計過程和實現方法。 4、設計實例及實現方法 這里講述的例子還是要求把帶寬為30kHz、采樣率為6MHz的信號降低為采樣率為240kHz的信號，而要求通帶衰減最大不得超過3dB，阻帶衰減不得低于60dB，同時要求輸入和輸出位數 。因此，我們可以知道抽取因子R＝25，而相對于低采樣率的通帶截止頻率 。根據表1和表2可以知道，N＝4級和差分延遲M＝1的CIC濾波器已經能夠滿足要求。為了簡單起見，這里每一級濾波器都采用截取方式，這樣我們據（29）式得到 ，據（40）式得到 。然后根據上面的分析結果，可以從理論上推得2N濾波器級所要被拋棄的位數分別為：1，6，9，13，14，15，16和17。如果假設小數點在輸出寄存器最低位的右邊，這樣就可以得到均值 以及標準偏差 。 從設計的角度來看，可以說工作已經做完了，但就具體的實現而言，還需要對上述結果進行修正。比如在硬件上我們現在用4比特的基本單元來實現抽取濾波器，其具體結構如圖10所示。這樣為了盡量減小截尾誤差但又要防止溢出，我們假定除了第一級累積級外一律使保留位數盡量靠近4的倍數，但又不達到4的倍數，具體過程如圖11所示。從而得到2N濾波器級每級被拋棄的位數分別為：0，3，7，11，11，15，15和15。此時誤差均值變為 （因為 ）以及標準偏差變為 。 從而可以得到如圖12所示的最終實現結構： 這里累積單元中的最低級因為沒有進位，而且4bit累積單元內沒有反向器，故累積單元的最后一級的進位端接低電平（即0）；而對于梳狀單元則不同，那時因為4bit梳狀單元的內部包含有方向器，我們知道對于補碼形式的數據其所對應的反向數據為各位取反并加一。比如4位補碼數據0111（即7），那么其反向數據－7的補碼形式為1001，顯然是0111各位取反并加一。故梳狀單元的最后一級進位端接高電平（即1）。 附 錄  先以抽取濾波器的單級梳狀級為例： 依次類推就可以得到如圖7所示的抽取濾波器N級梳狀級結構框圖。 2、CIC抽取濾波器的系統函數推導 CIC抽取濾波器從j級開始到最后一級的系統函數包括兩種情況，一種是 的情況，另一種是 的情況。下面分別分析這兩種情況下的結果。 當時，其系統函數為：  （A1） 也可以寫為：  （A2） （A2）式的展開多項式中 最高次冪的階數為：  （A3） 因此，式（A1）可變為：  （A4） 其中為多項式系數。另外，我們還可以把（A1）式作二項式展開得到：  （A5） 如果以兩多項式的交叉乘積項來表示，那么（A5）式變為：  （A6） 現令 ，則可以得到 ，從而我們可以得到：   （A7）據（A4）和（A7）式可知，當時，有：   （A8）同理，當 時，可以得到：  （A9）  ，  （A10） 參 考 文 獻 【1】E．B．Hogenauer, “An Economical Class of Digital Filters for Decimation and Interpolation,” IEEE Trans on ASSP,VOL.ASSP-29, NO.2,April 1981. 【2】楊小牛，樓才義，徐建良著. 軟件無線電原理與應用. 電子工業出版社，2001。 【3】R. E. 克勞切 L. R. 拉賓納著，酆廣增譯，多采樣率數字信號處理， 北京：人民郵電出版社，1988。 【4】張健，向敬成編著. 軟件無線電技術導論. 電子科技大學出版社, 2001。 【5】丁玉美，高西全編著. 數字信號處理（第二版）. 西安電子科技大學出版社，2001。
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