標(biāo)題: 齊次坐標(biāo)的理解 [打印本頁]
作者: mvp科比 時間: 2018-8-7 11:25
標(biāo)題: 齊次坐標(biāo)的理解
一直對齊次坐標(biāo)這個概念的理解不夠徹底，只見大部分的書中說道“齊次坐標(biāo)在仿射變換中非常的方便”，然后就沒有了后文，今天在一個叫做“三百年 重生”的博客上看到一篇關(guān)于透視投影變換的探討的文章，其中有對齊次坐標(biāo)有非常精辟的說明，特別是針對這樣一句話進(jìn)行了有力的證明：“齊次坐標(biāo)表示是計算機圖形學(xué)的重要手段之一，它既能夠用來明確區(qū)分向量和點，同時也更易用于進(jìn)行仿射（線性）幾何變換。”—— F.S. Hill, JR。
由于作者對齊次坐標(biāo)真的解釋的不錯，我就原封不動的摘抄過來：
對于一個向量v以及基oabc，可以找到一組坐標(biāo)(v1,v2,v3)，使得v = v1 a + v2 b + v3c （1）
而對于一個點p，則可以找到一組坐標(biāo)（p1,p2,p3），使得 p – o = p1 a + p2 b + p3 c （2），
從上面對向量和點的表達(dá)，我們可以看出為了在坐標(biāo)系中表示一個點（如p），我們把點的位置看作是對這個基的原點o所進(jìn)行的一個位移，即一個向量——p – o（有的書中把這樣的向量叫做位置向量——起始于坐標(biāo)原點的特殊向量），我們在表達(dá)這個向量的同時用等價的方式表達(dá)出了點p：p = o + p1 a + p2 b + p3 c (3)
(1)(3)是坐標(biāo)系下表達(dá)一個向量和點的不同表達(dá)方式。這里可以看出，雖然都是用代數(shù)分量的形式表達(dá)向量和點，但表達(dá)一個點比一個向量需要額外的信息。如果我寫出一個代數(shù)分量表達(dá)(1, 4, 7)，誰知道它是個向量還是個點！
我們現(xiàn)在把（1）（3）寫成矩陣的形式：v = (v1 v2 v3 0) X (a b c o)
p = (p1 p2 p3 1) X (a b c o),這里(a,b,c,o)是坐標(biāo)基矩陣，右邊的列向量分別是向量v和點p在基下的坐標(biāo)。這樣，向量和點在同一個基下就有了不同的表達(dá)：3D向量的第4個代數(shù)分量是0，而3D點的第4個代數(shù)分量是1。像這種這種用4個代數(shù)分量表示3D幾何概念的方式是一種齊次坐標(biāo)表示。
這樣，上面的(1, 4, 7)如果寫成（1,4,7,0），它就是個向量；如果是(1,4,7,1)，它就是個點。下面是如何在普通坐標(biāo)(OrdinaryCoordinate)和齊次坐標(biāo)(HomogeneousCoordinate)之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換：
(1)從普通坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成齊次坐標(biāo)時
如果(x,y,z)是個點，則變?yōu)?x,y,z,1);
如果(x,y,z)是個向量，則變?yōu)?x,y,z,0)
(2)從齊次坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成普通坐標(biāo)時
如果是(x,y,z,1)，則知道它是個點，變成(x,y,z);
如果是(x,y,z,0)，則知道它是個向量，仍然變成(x,y,z)
以上是通過齊次坐標(biāo)來區(qū)分向量和點的方式。從中可以思考得知，對于平移T、旋轉(zhuǎn)R、縮放S這3個最常見的仿射變換，平移變換只對于點才有意義，因為普通向量沒有位置概念，只有大小和方向.
而旋轉(zhuǎn)和縮放對于向量和點都有意義，你可以用類似上面齊次表示來檢測。從中可以看出，齊次坐標(biāo)用于仿射變換非常方便。
此外，對于一個普通坐標(biāo)的點P=(Px, Py, Pz)，有對應(yīng)的一族齊次坐標(biāo)(wPx, wPy, wPz, w)，其中w不等于零。比如，P(1, 4, 7)的齊次坐標(biāo)有(1, 4, 7, 1)、（2, 8, 14, 2）、（-0.1, -0.4, -0.7,-0.1）等等。因此，如果把一個點從普通坐標(biāo)變成齊次坐標(biāo)，給x,y,z乘上同一個非零數(shù)w，然后增加第4個分量w；如果把一個齊次坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成普通坐標(biāo)，把前三個坐標(biāo)同時除以第4個坐標(biāo)，然后去掉第4個分量。
由于齊次坐標(biāo)使用了4個分量來表達(dá)3D概念，使得平移變換可以使用矩陣進(jìn)行，從而如F.S. Hill, JR所說，仿射（線性）變換的進(jìn)行更加方便。由于圖形硬件已經(jīng)普遍地支持齊次坐標(biāo)與矩陣乘法，因此更加促進(jìn)了齊次坐標(biāo)使用，使得它似乎成為圖形學(xué)中的一個標(biāo)準(zhǔn)。
以上很好的闡釋了齊次坐標(biāo)的作用及運用齊次坐標(biāo)的好處。其實在圖形學(xué)的理論中，很多已經(jīng)被封裝的好的API也是很有研究的，要想成為一名專業(yè)的計算機圖形學(xué)的學(xué)習(xí)者，除了知其然必須還得知其所以然。這樣在遇到問題的時候才能迅速定位問題的根源，從而解決問題。
關(guān)于齊次坐標(biāo)
按照通常使用的數(shù)學(xué)知識，二維平面上一個點可以用它在X、Y方向上的坐標(biāo)來標(biāo)示為 P（x,y），但是在圖形學(xué)中偏偏要‘畫蛇添足’的使用齊次坐標(biāo)，這樣我們必須使用一個三維向量來表示一個二維點即P（x,y,w)，最后一個w就是那個‘足’。
why？
首先想像有個絕對不變的坐標(biāo)系，記為W，然后以W為參照，建立兩個坐標(biāo)系O1和O2, O1的原點在W的（1,1)處，O2的原點在W的（2,2)處。那么W中的一個點P（x,y）在O1中將變?yōu)镻（x-1,y-1)，在O2中將是P（x-2, y-2)，這樣同一個點P在不同的坐標(biāo)系下就具有了不同的表示。這會產(chǎn)生一個問題：顯然，P點在二維空間的位置是唯一的，是與坐標(biāo)系無關(guān)的，而不同坐標(biāo)系下的表示看上去體現(xiàn)不了這種無關(guān)性。
The Key
我們使用的是坐標(biāo)系這樣一個概念，坐標(biāo)系忽略了坐標(biāo)原點所具有的重要意義：正是原點標(biāo)示了該坐標(biāo)系處于哪個參照位置。如果用矩陣來表示一個二維坐標(biāo)系，將會是如下形式：
|1 0|
|0 1| ，其中（1 0)T表示一個基矢量，（0 1)T表示另一個基矢量，它們互相垂直，因此能利用它們標(biāo)記整個二維空間。
（x, y)|1 0| = (x, y)
|0 1|
這就是二維坐標(biāo)的實際意義。
現(xiàn)在考慮將坐標(biāo)原點(a,b)也引入到這個矩陣表示中來：
|1 0 |
|0 1 |
|a b |
我們用這個矩陣可以表示二維空間中任意位置的一個坐標(biāo)系，當(dāng)然，這個坐標(biāo)系的基矢量可以不為（0 1)T和（1 0)T，為了和坐標(biāo)系區(qū)分，我們稱這種新表示為標(biāo)架表示。
好，問題來了，如果我們?nèi)匀挥茫▁ y）來表示點P，那么根據(jù)矩陣的乘法規(guī)則，我們無法完成其乘法：mx N 的矩陣只能和 N xk的矩陣相乘。解決的辦法就是： 給P點添一個尾巴，這個尾巴通常為1：P（x y 1)，這就是P的齊次坐標(biāo)，利用新的齊次坐標(biāo)和矩陣相乘得到的結(jié)果為：
（x+a, y+b)，這樣同一個點在不同標(biāo)架下的不同表示最終會得到同一個計算結(jié)果，它反映了這樣一個事實：同一個點在不同標(biāo)架下的不同表示其實是等價的，這一點恰恰是使用坐標(biāo)系無法體現(xiàn)出來的。
顯然上面那個 3x2的矩陣和P的齊次表示相乘得到的不是齊次坐標(biāo)，所以應(yīng)該將它擴充成3x3的方陣:
|1 0 0|
|0 1 0|
|a b 1|
經(jīng)過擴充以后的新矩陣具有一些有趣的特性：利用它可以非常輕松的實現(xiàn)平移、旋轉(zhuǎn)以及縮放和剪切變換。為什么要寫這個呢，因為我們大部分時間只是不停的接收而不太愿意去思考為什么，難得有人提了一下讓我也順便思考了一下，然后順便把它記下來
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所謂齊次坐標(biāo)就是將一個原本是n維的向量用一個n+1維向量來表示。
在空間直角坐標(biāo)系中，任意一點可用一個三維坐標(biāo)矩陣[x y z]表示。如果將該點用一個四維坐標(biāo)的矩陣[Hx Hy Hz H]表示時，則稱為齊次坐標(biāo)表示方法。在齊次坐標(biāo)中，最后一維坐標(biāo)H稱為比例因子。
在OpenGL中，二維坐標(biāo)點全看作三維坐標(biāo)點，所有的點都用齊次坐標(biāo)來描述，統(tǒng)一作為三維齊次點來處理。每個齊次點用一個向量(x, y, z, w)表示，其中四個元素全不為零。
齊次點具有下列幾個性質(zhì)：
1）如果實數(shù)a非零，則(x, y, x, w)和(ax, ay, az, aw)表示同一個點，類似于x/y = (ax)/( ay)。
2）三維空間點(x, y, z)的齊次點坐標(biāo)為(x, y, z, 1.0)，二維平面點(x,y)的齊次坐標(biāo)為(x, y, 0.0, 1.0)。
3）當(dāng)w不為零時，齊次點坐標(biāo)(x, y, z, w)即三維空間點坐標(biāo)(x/w, y/w, z/w)；當(dāng)w為零時，齊次點(x, y, z, 0.0)表示此點位于某方向的無窮遠(yuǎn)處。
注意：OpenGL中指定w大于或等于0.0。
那么引進(jìn)齊次坐標(biāo)有什么必要，它有什么優(yōu)點呢？
1.它提供了用矩陣運算把二維、三維甚至高維空間中的一個點集從一個坐標(biāo)系變換到另一個坐標(biāo)系的有效方法。
2.它可以表示無窮遠(yuǎn)的點。n+1維的齊次坐標(biāo)中如果h=0，實際上就表示了n維空間的一個無窮遠(yuǎn)點。對于齊次坐標(biāo)[a,b,h]，保持a,b不變， 點沿直線 ax+by=0 逐漸走向無窮遠(yuǎn)處的過程
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