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標(biāo)題: 累積梳狀（CIC）濾波器分析與設(shè)計(jì)資料 [打印本頁(yè)]
作者: qbz417    時(shí)間: 2018-4-20 13:33
標(biāo)題: 累積梳狀（CIC）濾波器分析與設(shè)計(jì)資料
累積梳狀（CIC）濾波器分析與設(shè)計(jì)
1、累積梳狀（CIC）濾波器的分析
     所謂累積梳狀濾波器，是指該濾波器的沖激響應(yīng)具有如下形式：
                                           （1）
式中為梳狀濾波器的系數(shù)長(zhǎng)度（后面將會(huì)看到這里的也就是抽取因子）。根據(jù)Z變換的定義，濾波器的Z變換為：
                  
                        
                        
                                                    （2）
式中，
                                                    （3）
                                                    （4）
其實(shí)現(xiàn)框圖如圖1所示：
可見，CIC濾波器是由兩部分組成：累積器和梳狀濾波器的級(jí)聯(lián)，這就是為什么稱之為累積梳狀濾波器的原因。下面分析一下梳狀濾波器的幅頻特性。
把代入可得的頻率響應(yīng)為：
                     
                             
                                              （5）
其幅頻特性為：
                                           （6）
若設(shè)N＝7，就可以得到如圖2所示的相應(yīng)的頻譜特性曲線：
由圖2可以清楚地看到：的形狀猶如一把梳子，故把其形象地稱之為梳狀濾波器。同樣可以求得累積器的頻率響應(yīng)為：
                    
                          
                                                  （7）
故CIC濾波器的總頻率響應(yīng)為：
                  
                        
                                             （8）
式中，為抽樣函數(shù)，且，所以CIC濾波器在處的幅度值為，即：                                     （9）
CIC濾波器的幅頻特性如圖3所示：
在區(qū)間上稱的區(qū)間為CIC濾波器的主瓣，而其它區(qū)間稱為旁瓣。由圖3可知，在區(qū)間上隨著頻率的增大，旁瓣電平不斷減小，其中第一旁瓣電平為：
                 （10）
比如N＝7，則第一旁瓣與主瓣的電平差值為：16.9dB。不過(guò)，當(dāng)的時(shí)候，有，所以第一旁瓣電平為：
                                                    （11）
因此，旁瓣與主瓣的差值（用dB數(shù)表示）為：
                                   （12）
可見，單級(jí)CIC濾波器的旁瓣電平是比較大的，只比主瓣低13.46dB，這也就意味著阻帶衰減差，一般很難直接滿足實(shí)用要求。為了減低旁瓣電平，自然會(huì)想到的方法是采用多級(jí)CIC濾波器級(jí)聯(lián)的辦法。設(shè)用Q級(jí)CIC級(jí)聯(lián)，那么總的頻率響應(yīng)為：
                    （13）
同理可求得Q級(jí)CIC濾波器的旁瓣抑制為：
                         （14）
比如當(dāng)時(shí)，主瓣與旁瓣的差值為：67.3dB，這樣的阻帶衰減基本上能滿足實(shí)際要求。但在實(shí)際的抽樣率變換系統(tǒng)中，CIC濾波器旁瓣區(qū)域往往作為不確定帶來(lái)處理，也就是說(shuō)在這些旁瓣區(qū)域不會(huì)有信號(hào)頻譜（鏡像或混疊頻譜），因此在CIC濾波器設(shè)計(jì)中所要考慮的重要指標(biāo)是抗混疊問(wèn)題。這個(gè)問(wèn)題放在具體的抽取率變換濾波器的分析中加以討論。
2、累積梳狀（CIC）抽樣率變換濾波器的分析
抽樣率變換濾波器包括抽取濾波器和內(nèi)插濾波器。根據(jù)多采樣率數(shù)字信號(hào)處理理論，內(nèi)插濾波器和抽取濾波器是對(duì)偶關(guān)系，也就是說(shuō)抽取濾波器通過(guò)轉(zhuǎn)置可以得到內(nèi)插濾波器，反之亦然。因此，這里主要針對(duì)抽取濾波器展開分析，其結(jié)果也同樣適用于內(nèi)插濾波器。
根據(jù)多采樣率數(shù)字信號(hào)處理理論，抽取濾波器的結(jié)構(gòu)框圖如下：
現(xiàn)若假設(shè)用N級(jí)CIC濾波器來(lái)代替，每一級(jí)的濾波器系數(shù)長(zhǎng)度為R，每一級(jí)的差分延遲為M，抽取數(shù)為R，那么可以得到如圖5所示的CIC抽取濾波器結(jié)構(gòu)圖：





據(jù)CIC濾波器的傳遞函數(shù)，圖5所示的抽取濾波器結(jié)構(gòu)圖和圖6所示的抽取濾波器結(jié)構(gòu)圖是等價(jià)的。
根據(jù)分支運(yùn)算的換位和電路的恒等關(guān)系（具體見附錄1），可以得到如圖7所示的CIC抽取濾波器結(jié)構(gòu)圖：
據(jù)圖6、圖7可以得到相對(duì)于高采樣率的系統(tǒng)函數(shù)為：
                                     （15）
從式（15）可以看到，N級(jí)CIC濾波器在功能上相當(dāng)于N級(jí)完全相同的FIR濾波器的級(jí)聯(lián)。如果按傳統(tǒng)的FIR濾波器方式實(shí)現(xiàn)，那么N級(jí)FIR濾波器的每一級(jí)都需要RM個(gè)存儲(chǔ)單元和一個(gè)累加器，但如果用CIC方式實(shí)現(xiàn)，那么N級(jí)CIC濾波器的每一級(jí)只需要M個(gè)存儲(chǔ)單元。
CIC濾波器幅頻特性具有帶帶的低通特性，這可以從圖3中看出來(lái)，下面具體來(lái)分析CIC抽取濾波器的幅頻特性。設(shè)：
                                                  （16）
其中是相對(duì)于低采樣率的歸一化頻率，把（16）式代入（15）式得到CIC濾波器的幅頻特性為：
                                            （17）
如果抽取率R足夠大，那么有，從而有：
                    （18）
從上式可以看到，CIC的增益可達(dá)（RM）N, 差分延遲M影響著零點(diǎn)分布，也就是說(shuō)差分延遲M可以影響幅頻特性，一般M＝1或2。若設(shè)N＝5、M＝1及R＝4，那么可以得到如圖8所示的幅頻特性曲線：








對(duì)于CIC抽取濾波器來(lái)說(shuō)，那些零點(diǎn)附近的區(qū)域?qū)?huì)被折疊到通帶而引起混疊誤差，具體而言這些混疊帶為：
                                                 （18）
其中，而1，2，┅，，這里是指不大于x的最大整數(shù)。在實(shí)際設(shè)計(jì)時(shí)，混疊誤差是以所有混疊帶中的最大混疊誤差來(lái)衡量的。如設(shè)在圖8中的為通帶截止頻率，那么最大的混疊誤差的位置為：
                                                      （19）
而在任意頻率點(diǎn)（），相對(duì)于最大值的衰減（以dB表示）為：
                                 （20）
對(duì)于通帶截止頻率點(diǎn)的衰減，不一定需要知道和，其實(shí)只要知道即可，但對(duì)于阻帶截止頻率點(diǎn)的衰減，如果只知道的條件是不夠的，應(yīng)該同時(shí)需要知道和的值。據(jù)上述分析，就可以得到如表1所示的不同通帶截止頻率點(diǎn)的衰減值和如表2所示的不同通帶截止頻率下的阻帶截止頻率點(diǎn)衰減值。
相對(duì)帶寬和差分延遲乘積（）
在處的通帶衰減（dB）
級(jí)數(shù)（N）
1
2
3
4
5
6
1/128
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.01
1/64
0.00
0.01
0.01
0.01
0.02
0.02
1/32
0.01
0.03
0.04
0.06
0.07
0.08
1/16
0.06
0.11
0.17
0.22
0.28
0.34
1/8
0.22
0.45
0.67
0.90
1.12
1.35
1/4
0.91
1.82
2.74
3.65
4.56
5.47
差分延遲
相對(duì)帶寬
在處的阻帶衰減（dB）
級(jí)數(shù)（N）
1
2
3
4
5
6
1
1/128
42.1
84.2
126.2
168.3
210.4
252.5
1
1/64
36.0
72.0
108.0
144.0
180.0
215.9
1
1/32
29.8
59.7
89.5
119.4
149.2
179.0
1
1/16
23.6
47.2
70.7
94.3
117.9
141.5
1
1/8
17.1
34.3
51.4
68.5
85.6
102.8
1
1/4
10.5
20.9
31.4
42.8
52.3
62.7
2
1/128
48.1
96.3
144.4
192.5
240.7
288.8
2
1/64
42.1
84.2
126.2
168.3
210.4
252.5
2
1/32
36.0
72.0
108.0
144.0
180.0
216.0
2
1/16
29.9
59.8
89.6
119.5
149.4
179.3
2
1/8
23.7
47.5
71.2
95.0
118.7
142.5
2
1/4
17.8
35.6
53.4
71.3
89.1
106.9
3、CIC抽樣率變換濾波器的設(shè)計(jì)
上面已經(jīng)提到過(guò)，根據(jù)多采樣率數(shù)字信號(hào)處理理論，內(nèi)插濾波器和抽取濾波器是對(duì)偶關(guān)系。所以不管是內(nèi)插濾波器還是抽取濾波器，只要設(shè)計(jì)了一種濾波器，那么另一種濾波器也相當(dāng)于得到了設(shè)計(jì)。因此，這里只研究抽取濾波器的設(shè)計(jì)問(wèn)題。
根據(jù)第2部分中對(duì)抽取濾波器的分析及自己的具體設(shè)計(jì)要求，我們可以確定所要選用的CIC濾波器類型。比如：我們要求把帶寬為30kHz、采樣率為6MHz的信號(hào)降低為采樣率為240kHz的信號(hào)，而要求通帶衰減最大不得超過(guò)3dB，阻帶衰減不得低于60dB。據(jù)此條件參考表1和2可知，用級(jí)數(shù)N＝4、差分延遲M＝1的CIC濾波器可以滿足要求。但對(duì)于CIC濾波器的設(shè)計(jì)來(lái)說(shuō)，那是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，這是因?yàn)镃IC是數(shù)字濾波器，所以必須考慮在濾波過(guò)程中為了不產(chǎn)生溢出而需要的最大位數(shù)和每級(jí)可以舍去的位數(shù)。下面就來(lái)分析這兩個(gè)問(wèn)題。
在圖7中從第j級(jí)開始到最后一級(jí)的總的系統(tǒng)函數(shù)為：
                           （21）
其中，
                 （22）
這組公式的獲得參見附錄2。
現(xiàn)把濾波器濾波過(guò)程中可能增加的最大值定義為最大幅度輸入信號(hào)情況下最大的輸出幅度。若假設(shè)信號(hào)輸入位數(shù)為Bin(滿刻度輸入)，即輸入信號(hào)為2Bin，那么根據(jù)：
                 
                     
                                              （23）
故增加的值為：
                                                 （24）
由（15）式和（21）式得到：
                                 （25）
因正系數(shù)的多項(xiàng)式乘積的展開式依然是正系數(shù)的多項(xiàng)式，因此有，這樣（24）式變?yōu)椋?/font>
                                                 （26）
另外，由（25）式，令得到：
                                        （27）
故有：
                                         （28）
從而在輸入信號(hào)位數(shù)為的情況下，濾波輸出的最大可能位數(shù)為：
                                             （29）
這里之所以需要減1，那是因?yàn)槟莻�(gè)符號(hào)數(shù)相乘結(jié)果中會(huì)有兩位相同的符號(hào)位，所以需要去掉一位。另外，是指不小于x的最小整數(shù)。
不僅是濾波器輸出的最大可能的位數(shù)，也是每一級(jí)濾波器的最大可能位數(shù)。但在許多實(shí)際情況中，太大會(huì)使寄存器位數(shù)過(guò)寬，這是很不經(jīng)濟(jì)的。為了能解決這個(gè)問(wèn)題，在每一級(jí)濾波器中引入四舍五入或截取的方法來(lái)減少位數(shù)。這自然需要研究一下因四舍五入或截取所引起的濾波器輸出端誤差，具體的方法就是通過(guò)單獨(dú)研究每一級(jí)誤差源（指每一級(jí)濾波器截取或四舍五入引起的誤差）的均值和方差，利用統(tǒng)計(jì)特性研究濾波器輸出端總的均值和方差。
根據(jù)實(shí)際實(shí)現(xiàn)時(shí)的濾波器結(jié)構(gòu)（下面介紹），可以認(rèn)為誤差源有個(gè)：個(gè)濾波器級(jí)因四舍五入或截取所產(chǎn)生的誤差源和一個(gè)輸出寄存器因四舍五入或截取所產(chǎn)生的誤差源。
一般我們認(rèn)為截取比四舍五入的效果要好，但在CIC濾波器中，除了第一級(jí)和第2N＋1級(jí)誤差源以外，其它級(jí)誤差源的輸出誤差統(tǒng)計(jì)結(jié)果不管是四舍五入還是截取都是相同的（見下面的分析）。如果在實(shí)際設(shè)計(jì)中，第一級(jí)采用全精度運(yùn)算（也就是以位進(jìn)行運(yùn)算，不截取也不舍入），那么對(duì)于設(shè)計(jì)者來(lái)講只需要在最后一級(jí)（輸出寄存器誤差源）考慮采用截取還是四舍五入。
一般認(rèn)為每一級(jí)誤差源都是與輸入信號(hào)和其它誤差源不相關(guān)的白噪聲，并且服從均勻概率分布。對(duì)于第j級(jí)誤差源，我們可以得到誤差函數(shù)為：
                                          （30）
這里是第j級(jí)被拋掉的位數(shù)，因此可以得到第j級(jí)誤差源的均值和方差表達(dá)式：
                                               （31）
                                                     （32）
據(jù)式（21），對(duì)于第k個(gè)系數(shù)，對(duì)應(yīng)的誤差均值和方差為：和，其隨機(jī)過(guò)程模型如下圖所示：
因此，第j級(jí)誤差源在輸出端所產(chǎn)生的總的均值為：
                                                       （33）
其中，
                                 （34）
同樣，第j級(jí)誤差源在輸出端所產(chǎn)生的總的方差為：
                                                    （35）
其中，
                                （36）
另外，可以獲證（我還未證明之）：
                                （37）
從這里可以看出，對(duì)于選用截取還是舍入除了對(duì)第一級(jí)和最后一級(jí)有不同的影響外，對(duì)其它級(jí)都不會(huì)有影響。這樣可以得到因截取或舍入所引起的在輸出端所產(chǎn)生的總均值和方差為：
                                            （38）
                                                    （39）
現(xiàn)在，我們可以根據(jù)上述分析結(jié)果，在給定合適的誤差限制條件下反過(guò)來(lái)確定每一級(jí)濾波器需要拋棄的位數(shù)。由于方差在所有的誤差源中都受截取或舍入的影響，而均值只有對(duì)第一和最后一級(jí)產(chǎn)生影響，所以這里選用方差作為唯一的設(shè)計(jì)參數(shù)。
如果現(xiàn)在假定在輸出寄存器中所保留的位數(shù)為，那么最后需要被拋棄的最低位數(shù)為：
                                             （40）
這里只所以需要加1，那是因?yàn)楸粧仐壍臄?shù)是符號(hào)數(shù)，所以除了拋棄的數(shù)據(jù)位，還需要指定拋棄數(shù)據(jù)的符號(hào)。              
為了得到前2N級(jí)濾波器中的每一級(jí)所要拋棄的位數(shù)，現(xiàn)提出以下的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則：前2N個(gè)誤差源在輸出端所產(chǎn)生的方差小于或等于最后一級(jí)誤差源的方差，同時(shí)假定誤差等同地分布在這些源中。這樣就可以得到如下的不等式：     
                            （41）
而由式（30）、（32）和（35），可以得到：
                                                 （42）
根據(jù)式（41）和（42）得到：
                                                （43）
以2為底求對(duì)數(shù)得到：
                                    （44）
也就是：
                   （45）
具體的計(jì)算步驟如下：
   到此為止，我們已經(jīng)講述了CIC濾波器的選取依據(jù)和每一級(jí)位數(shù)的設(shè)計(jì)過(guò)程，下面通過(guò)一設(shè)計(jì)實(shí)例來(lái)詳細(xì)介紹設(shè)計(jì)過(guò)程和實(shí)現(xiàn)方法。
4、設(shè)計(jì)實(shí)例及實(shí)現(xiàn)方法
這里講述的例子還是要求把帶寬為30kHz、采樣率為6MHz的信號(hào)降低為采樣率為240kHz的信號(hào)，而要求通帶衰減最大不得超過(guò)3dB，阻帶衰減不得低于60dB，同時(shí)要求輸入和輸出位數(shù)。因此，我們可以知道抽取因子R＝25，而相對(duì)于低采樣率的通帶截止頻率。根據(jù)表1和表2可以知道，N＝4級(jí)和差分延遲M＝1的CIC濾波器已經(jīng)能夠滿足要求。為了簡(jiǎn)單起見，這里每一級(jí)濾波器都采用截取方式，這樣我們據(jù)（29）式得到，據(jù)（40）式得到。然后根據(jù)上面的分析結(jié)果，可以從理論上推得2N濾波器級(jí)所要被拋棄的位數(shù)分別為：1，6，9，13，14，15，16和17。如果假設(shè)小數(shù)點(diǎn)在輸出寄存器最低位的右邊，這樣就可以得到均值以及標(biāo)準(zhǔn)偏差。
從設(shè)計(jì)的角度來(lái)看，可以說(shuō)工作已經(jīng)做完了，但就具體的實(shí)現(xiàn)而言，還需要對(duì)上述結(jié)果進(jìn)行修正。比如在硬件上我們現(xiàn)在用4比特的基本單元來(lái)實(shí)現(xiàn)抽取濾波器，其具體結(jié)構(gòu)如圖10所示。這樣為了盡量減小截尾誤差但又要防止溢出，我們假定除了第一級(jí)累積級(jí)外一律使保留位數(shù)盡量靠近4的倍數(shù)，但又不達(dá)到4的倍數(shù)，具體過(guò)程如圖11所示。從而得到2N濾波器級(jí)每級(jí)被拋棄的位數(shù)分別為：0，3，7，11，11，15，15和15。此時(shí)誤差均值變?yōu)?img id="aimg_C3GL7" onclick="zoom(this, this.src, 0, 0, 0)" class="zoom" width="104" height="23" src="http://c.51hei.com/a/huq/a/a/7/36/36.143.jpg" border="0" alt="" />（因?yàn)?img id="aimg_ToaoX" onclick="zoom(this, this.src, 0, 0, 0)" class="zoom" width="45" height="21" src="http://c.51hei.com/a/huq/a/a/7/36/36.144.jpg" border="0" alt="" />）以及標(biāo)準(zhǔn)偏差變?yōu)?img id="aimg_POD7q" onclick="zoom(this, this.src, 0, 0, 0)" class="zoom" width="103" height="23" src="http://c.51hei.com/a/huq/a/a/7/36/36.145.jpg" border="0" alt="" />。
從而可以得到如圖12所示的最終實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)：
這里累積單元中的最低級(jí)因?yàn)闆](méi)有進(jìn)位，而且4bit累積單元內(nèi)沒(méi)有反向器，故累積單元的最后一級(jí)的進(jìn)位端接低電平（即0）；而對(duì)于梳狀單元?jiǎng)t不同，那時(shí)因?yàn)?bit梳狀單元的內(nèi)部包含有方向器，我們知道對(duì)于補(bǔ)碼形式的數(shù)據(jù)其所對(duì)應(yīng)的反向數(shù)據(jù)為各位取反并加一。比如4位補(bǔ)碼數(shù)據(jù)0111（即7），那么其反向數(shù)據(jù)－7的補(bǔ)碼形式為1001，顯然是0111各位取反并加一。故梳狀單元的最后一級(jí)進(jìn)位端接高電平（即1）。
附   錄
先以抽取濾波器的單級(jí)梳狀級(jí)為例：
依次類推就可以得到如圖7所示的抽取濾波器N級(jí)梳狀級(jí)結(jié)構(gòu)框圖。
2、CIC抽取濾波器的系統(tǒng)函數(shù)推導(dǎo)
CIC抽取濾波器從j級(jí)開始到最后一級(jí)的系統(tǒng)函數(shù)包括兩種情況，一種是的情況，另一種是的情況。下面分別分析這兩種情況下的結(jié)果。
當(dāng)時(shí)，其系統(tǒng)函數(shù)為：
                                             （A1）
也可以寫為：
                                   （A2）
（A2）式的展開多項(xiàng)式中最高次冪的階數(shù)為：
                     （A3）
因此，式（A1）可變?yōu)椋?/font>
                                            （A4）
其中為多項(xiàng)式系數(shù)。另外，我們還可以把（A1）式作二項(xiàng)式展開得到：
                       （A5）
如果以兩多項(xiàng)式的交叉乘積項(xiàng)來(lái)表示，那么（A5）式變?yōu)椋?/font>
                            （A6）
現(xiàn)令，則可以得到，從而我們可以得到：
       （A7）
據(jù)（A4）和（A7）式可知，當(dāng)時(shí)，有：
   （A8）
同理，當(dāng)時(shí)，可以得到：
                                            （A9）
                 ，     （A10）
參 考 文 獻(xiàn)
【1】E．B．Hogenauer, “An Economical Class of Digital Filters for Decimation and Interpolation,” IEEE Trans on ASSP,VOL.ASSP-29, NO.2,April 1981.
【2】楊小牛，樓才義，徐建良著. 軟件無(wú)線電原理與應(yīng)用. 電子工業(yè)出版社，2001。
【3】R. E. 克勞切  L. R. 拉賓納著，酆廣增譯，多采樣率數(shù)字信號(hào)處理， 北京：人民郵電出版社，1988。
【4】張健，向敬成編著. 軟件無(wú)線電技術(shù)導(dǎo)論. 電子科技大學(xué)出版社, 2001。
【5】丁玉美，高西全編著. 數(shù)字信號(hào)處理（第二版）. 西安電子科技大學(xué)出版社，2001。


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